В расчёте я последовательно перехожу от работы пара в каждой полости к суммарной работе за оборот, затем — к работе за секунду и мощности на валу. Механические потери учитываются после получения индикаторной мощности. Наполнение, размеры цилиндра и равномерность вращения рассматриваются совместно, но не подменяют друг друга.
1. Цель расчёта и исходные данные
Индикаторная мощность характеризует работу пара внутри цилиндров до механических потерь. Эффективная мощность — результат на валу. Электрическая мощность генератора имеет ещё одну границу: она зависит также от генератора и не приравнивается автоматически мощности двигателя.
Для расчёта по индикаторной диаграмме должны быть известны рабочая полость, масштаб каждой оси, охватываемый цикл и частота его повторения. Масштабы переводят площадь записи в работу пара.
- Диаметр цилиндра
Dи диаметр штокаd— из размерного чертежа/измерения, в метрах. - Ход поршня
L, м, — расстояние между его крайними положениями, не путь за полный оборот. - Частота вращения
n, об/мин, — для рассматриваемого режима. - Среднее индикаторное давление
p_m, кПа, — из площади индикаторной диаграммы. Это не давление в котле и не простое среднее максимального и минимального давления. Оно означает такое постоянное эквивалентное давление, которое дало бы ту же результирующую работу при том же рабочем объёме.
Среднее индикаторное давление определяется работой цикла, отнесённой к рабочему объёму:
p_m = W_i / V_s, где W_i = ∮p dV, V_s = A_eff L.
При p в кПа и V в м³ работа получается в кДж: 1 кПа·м³ = 1 кН·м = 1 кДж. Интеграл — компактная запись площади диаграммы с учётом направления обхода; она выражает результирующую работу цикла.
Если диаграмма дана на бумаге: p_m = (S_диагр / l_диагр) k_p, где S в мм², l в мм, k_p в кПа/мм. Сначала площадь делится на длину, получая среднюю высоту; затем высота переводится в давление. Пример перевода масштаба: 600 мм² / 60 мм × 30 кПа/мм = 300 кПа. Масштаб должен быть известен: картинка без масштаба численного p_m не даёт.
2. Формулы работы и мощности
Для одной рабочей полости W_i = p_m A_eff L. У обычной паровой машины простого действия эта полость совершает один рабочий цикл за оборот. Тогда
P_i [кВт] = p_m [кПа] × A_eff [м²] × L [м] × n [об/мин] / 60.
Число 60 переводит циклы в минуту в циклы в секунду; кДж/с = кВт. При давлении в Па получится Вт, а не кВт. У машины двойного действия за оборот учитываются рабочие циклы обеих полостей.
У цилиндра двойного действия работают обе полости, но площадь со стороны штока меньше:
A_h = πD²/4; A_r = π(D²−d²)/4.
Точная сумма вкладов для одного штока с одной стороны:
P_i = (p_mh A_h + p_mr A_r) L n / 60 (кВт при кПа, м, об/мин).
Здесь я отдельно учитываю площадь и среднее индикаторное давление каждой полости. Если шток проходит через обе крышки, площади определяются фактической геометрией с каждой стороны, а не приведённым частным случаем.
Если давления обеих сторон равны, P_i = p_m(2A_h−πd²/4)Ln/60. Если ещё и пренебрегаем штоком, получится приближение P_i ≈ 2p_m A_h L n/60. Нельзя использовать два рабочих хода и ещё раз умножать результат на два. Для нескольких цилиндров складывают рассчитанные мощности, не умножают мощность одного произвольного цилиндра на число ступеней расширения.
Механический КПД связывает индикаторную и эффективную мощности как отношение результата на валу к работе внутри цилиндров. Эффективная мощность может определяться также тормозным устройством или по электрической нагрузке с учётом передачи энергии генератору. При тормозном определении исходными величинами служат нагрузка, плечо и число оборотов; сравниваются показатели одного и того же режима.
Нагрузка тормоза, момент и мощность вала: историческая измерительная граница
В § 8 пособия «Паровые двигатели» (1952), рис. 10, отдельный способ определения эффективной мощности основан на поглощении работы вала тормозом. Вращающаяся шайба взаимодействует с колодками; тормозной момент передаётся рычагу и в рассматриваемом равновесии сопоставляется с моментом нагрузки Q. В отличие от индикаторной диаграммы, здесь наблюдается механическая отдача в месте присоединения тормоза, а не работа пара внутри цилиндра.
Плечо l отсчитывается от оси вращения до вертикальной линии действия нагрузки Q. Это плечо силы, не радиус шайбы, не ход поршня. Противовес уравновешивает собственный вес рычага: по объяснению авторов, иначе вес рычага увеличивал бы момент груза Q. Таким образом, смысл Ql как тормозного момента предполагает указанную компенсацию собственного веса. Показание нагрузки без этой границы нельзя автоматически считать чистым моментом сопротивления вала; произвольная численная поправка на тару из рисунка не выводится.
При указанном авторами равновесии рычага и равномерном вращении момент M = Ql. Историческая формула авторов имеет вид
Nₑ = Qlπn/(30 × 75), л. с. (8,3),
где Q — тормозная нагрузка, для которой в книге буквально указано «в килограммах», l — плечо в метрах, n — число оборотов в минуту. Обозначение «кгс» в этой записи источника не напечатано: здесь я использую его для пояснения физического смысла весовой силы. В такой силовой системе Ql выражается в кгс·м, а не в единицах массы SI. Число 75 соответствует метрической лошадиной силе, равной 75 кгс·м/с. Поэтому подстановка силы в ньютонах в эту запись без изменения единиц неверна.
Связь множителей можно проследить без нового эмпирического коэффициента: работа постоянного момента за оборот равна 2πM, а оборотов в секунду — n/60. Получается мощность 2πQln/60 = Qlπn/30 в кгс·м/с; деление на 75 даёт авторскую формулу в лошадиных силах. Так раскрываются размерности и механический смысл (8,3). Неустановившийся режим потребовал бы отдельного рассмотрения.
Результат уже относится к эффективной мощности на валу. Повторное умножение его на механический КПД как будто это индикаторная мощность учло бы механические потери ещё раз. Напротив, отношение независимо определённой эффективной мощности к индикаторной характеризует механический КПД при сопоставимых границах и одном режиме. Тормозная нагрузка сама по себе не определяет индикаторную диаграмму, расход пара или электрическую отдачу генератора.
В этом примере я рассматриваю цепь нагрузка и её плечо → момент тормоза → работа за оборот → мощность вала. Калибровка весов, неопределённость измерения, допустимые нагрузки и полный порядок проведения испытания не заданы этой формулой; эксплуатационные действия по рисунку здесь не воспроизводятся.
3. Пример расчёта по площади диаграммы
Даны площадь диаграммы и масштабы осей. Требуется определить работу полости за оборот, общую индикаторную и эффективную мощности. Работу одной полости обозначаю Wᵢ, суммарную работу за оборот — WΣ; L по-прежнему обозначает ход поршня.
Исходные данные
A
Значение в примере: 10 см²
Смысл и способ получения: Площадь замкнутой индикаторной диаграммы на бумаге; получается измерением контура записи давления и хода
mₚ
Значение в примере: 100 кПа/см
Смысл и способ получения: Масштаб вертикальной оси давления; здесь принят условно, для измерительной диаграммы должен быть известен из её калибровки
mᵥ
Значение в примере: 0,002 м³/см
Смысл и способ получения: Масштаб оси объёма; здесь принят условно. Для реальной записи он связан с ходом и геометрией именно рассматриваемой полости, а не выбирается из картинки на глаз
n
Значение в примере: 120 об/мин
Смысл и способ получения: Условная частота вращения; при опыте нужна измеренная частота за тот же учитываемый режим
z
Значение в примере: 2
Смысл и способ получения: В этом примере две одинаковые рабочие полости, каждая даёт указанную работу за оборот
ηₘ
Значение в примере: 0,80
Смысл и способ получения: Отношение эффективной мощности к индикаторной; получается, например, сопоставлением измеренной эффективной и индикаторной мощности
Равенство диаграмм двух полостей — специальное упрощение примера; различие объёмов со стороны штока не рассчитывается.
Почему площадь переводится в работу
На бумаге одна координата имеет масштаб давления, другая — объёма. Поэтому произведение масштабов переводит площадь бумажного контура в величину с единицами «давление × объём». Для замкнутой pV-диаграммы это работа за цикл указанной полости. Отсюда формула перевода площади:
Wᵢ = A × mₚ × mᵥ, где Wᵢ — работа одной полости за оборот.
Подстановка:
Wᵢ = 10 см² × 100 кПа/см × 0,002 м³/см = 2 кПа·м³ = 2 кДж за оборот.
Проверка единиц: сантиметры бумажных осей сокращаются; 1 кПа·м³ = 1000 Н/м² × м³ = 1000 Н·м = 1 кДж. Используется площадь замкнутого контура, то есть результирующая работа рассматриваемого цикла, а не только площадь под линией впуска.
От работы за оборот к индикаторной мощности
За один оборот две принятые одинаковыми полости дают:
WΣ = z × Wᵢ = 2 × 2 = 4 кДж/об.
Частота 120 об/мин соответствует 120/60 = 2 об/с. По определению работы за время:
Nᵢ = WΣ × n/60 = 4 кДж/об × 2 об/с = 8 кДж/с = 8 кВт.
Это индикаторная мощность заданной условной машины, а не мощность каждой полости и не электрическая мощность. Если диаграммы полостей различны, вместо умножения одной площади на z складываются отдельно определённые работы.
Переход к эффективной мощности
Механический КПД ηₘ определён как отношение эффективной мощности к индикаторной. Поэтому:
Nₑ = ηₘ × Nᵢ = 0,80 × 8 кВт = 6,4 кВт.
Разность 8 − 6,4 = 1,6 кВт соответствует механическим потерям в границах этого условного отношения. Безразмерный множитель ηₘ не изменяет единицы мощности. Электрическую мощность генератора этот расчёт не определяет: генератор и его потери не включены в заданные данные.
Что этот пример решает, а что оставляет открытым
Получена воспроизводимая цепочка площадь с известными масштабами → работа полости → сумма работ за оборот → работа за секунду → эффективная мощность при заданном ηₘ. Каждый переход сохраняет явно указанную границу мощности и проверяется по единицам.
Наполнение, давление котла, диаметр и ход цилиндра из результата 6,4 кВт не определяются однозначно. Для задачи размеров нужны дополнительные исходные величины и достоверные расчётные зависимости. Этот пример определяет мощность по уже известной диаграмме, а не размеры двигателя по заданной мощности.
4. Пример расчёта по геометрии и раздельным диаграммам
Во втором примере я задаю полостям разные площади и средние индикаторные давления. Это самостоятельный расчёт с другим набором данных, а не поправка к первому.
Дано: D=0,200 м, d=0,030 м, L=0,300 м, n=180 об/мин, p_mh=300 кПа, p_mr=280 кПа; цилиндр двойного действия с одним штоком.
A_h=0,03141593 м²;A_r=0,03070907 м².- Работа головной полости:
300×0,03141593×0,300=2,827433 кДж/оборот. - Работа штоковой полости:
280×0,03070907×0,300=2,579562 кДж/оборот. - Итого:
5,406995 кДж/оборот. Частота:180/60=3 оборота/с. P_i=5,406995×3=16,220985 кВт.- Если отдельно задан механический КПД
η_m=0,85, тоP_вал=η_m P_i=13,787838 кВт. Здесьη_m=P_вал/P_i. Значение 0,85 — принятое условие этого примера.
Проверка: P_i−P_вал=2,433148 кВт — механические потери принятой модели. Промежуточные вычисления выполнены без округления; приведённые результаты округлены отдельно, поэтому вычитание уже округлённых чисел может отличаться в последнем разряде. Без известного p_m либо индикаторной диаграммы размеры и обороты сами по себе мощности не определяют. Расчёт не определяет расход пара: его нужно получить отдельно, а не подменить объёмом цилиндра без учёта состояния пара и цикла.
5. Наполнение, расход и размеры цилиндра
Максимальная степень наполнения связана с наибольшей требуемой мощностью машины. Более поздняя отсечка уменьшает оставшуюся часть расширения. Наполнение с минимальным удельным расходом и экономически наиболее выгодное наполнение не обязательно совпадают: чрезмерно большие цилиндры увеличивают стоимость машины и эксплуатации.
При одинаковом наполнении повышение давления впуска повышает и давление в конце расширения. Уменьшение наполнения при увеличении начального давления ограничивает потери от неполного расширения. В выборе участвуют также вредное пространство и давление выпуска; тепловая экономичность сопоставляется с размерами и массой машины.
Расход зависит не только от геометрии: начальная конденсация и пропуски пара его увеличивают. В формуле (11,1) пособия часовой расход D′ на обе полости цилиндра возрастает с наполнением и уменьшается со степенью сжатия при прочих неизменных величинах. Это не безусловная зависимость удельного расхода от отсечки: при изменении режима меняется и мощность, к которой относят расход.
Размеры согласуются с мощностью, средним индикаторным давлением, скоростью поршня и частотой вращения. Выбранная скорость связана с отношением хода и диаметра; если полученное сочетание не подходит принятой конструкции, подбор повторяется. Одно заданное значение мощности не определяет единственную пару диаметра и хода.
Обратная задача в учебном примере 1952 года
В § 9 пособия «Паровые двигатели» приведён отдельный пример определения размеров машины однократного расширения. В отличие от двух предыдущих редакционных примеров, здесь задана эффективная мощность на валу, а диаметр и ход ещё неизвестны. Авторские исходные величины: Nₑ = 190 л. с., n = 280 об/мин и среднее индикаторное давление pᵢ = 3,2 кг/см², найденное по индикаторной диаграмме. Историческое обозначение давления «кг/см²» используется в силовом смысле; оно не означает массу, делённую на площадь, и не подменяется здесь числом в кПа.
Дополнительно в самом примере приняты механический КПД ηм = 0,85, средняя скорость поршня cₘ = 5 м/с и отношение рабочей площади поршня к полной 0,97. Эти условия выбраны отдельно: одной заданной мощности для их определения недостаточно. Ссылка авторов на таблицу при выборе КПД не превращает 0,85 в универсальную характеристику всех машин.
От мощности вала к индикаторной мощности. Поскольку Nₑ = ηмNᵢ, авторы получают Nᵢ = 190/0,85 ≈ 223,5 индикаторной л. с. Деление, а не умножение на КПД требуется потому, что обратная задача начинается с результата после механических потерь.
От индикаторной мощности к рабочей площади. На предыдущей странице напечатано Nᵢ = pᵢFcₘ/75 (8,8). Отсюда в § 9 получено F = 75Nᵢ/(pᵢcₘ), см² (9,1). В этих формулах мощность выражена в метрических лошадиных силах, давление — в исторических кгс/см², F — в см², а cₘ — в м/с; число 75 относится к этой системе единиц, не к приведённой выше SI-записи. Подстановка авторского округлённого Nᵢ даёт F = 75 × 223,5/(3,2 × 5) ≈ 1048 см². Это рабочая площадь принятой модели, ещё не полная площадь круга цилиндра. При выводе этой проектной формы авторы принимают равными рабочие площади обеих сторон и их средние индикаторные давления; раздельная сумма для различных полостей приведена выше.
От рабочей площади к диаметру. При условии F = 0,97πD²/4 авторы находят D = √[4F/(0,97π)] ≈ 37 см = 370 мм = 0,37 м. Коэффициент 0,97 здесь связывает рабочую и полную площади именно этого примера; это геометрическое отношение, а не механический КПД 0,85. Он не задаёт диаметр штока и не заменяет раздельный учёт обеих полостей в разделе 2: происхождение и границы двух расчётных записей различны.
Ход и проверка пропорций. Средняя скорость связана с ходом и частотой вращения как cₘ = 2Sn/60; поэтому S = 30cₘ/n (9,3). При S в метрах и n в об/мин авторы получают S = 30 × 5/280 ≈ 0,536 м. Затем обе длины приводятся к одной единице: k = S/D = 0,536/0,37 ≈ 1,45 (9,4). Пособие сопоставляет этот результат со своим историческим диапазоном для быстроходных машин и считает сочетание согласованным. Я сохраняю эту проверку в рамках исторического примера; современный проект потребует собственного обоснования размеров.
Выбор cₘ = 5 м/с прямо напечатан в решении и сохранён как его условие; соседние общие диапазоны скоростей не подставлены вместо него. Изменение этого выбранного входа изменило бы и рабочую площадь, и ход, а значит, их геометрическое согласование. Поэтому цепочка мощность вала → индикаторная мощность → рабочая площадь → диаметр → ход → S/D иллюстрирует зависимый подбор при заданных предпосылках, но не единственное определение размеров по мощности и не полный прочностной или тепловой проект. Числа 223,5, 1048, 37, 0,536 и 1,45 переданы с округлением самого учебного решения; большей точности измерений они не заявляют.
Работа полости
Исходные величины: Диаграмма и масштабы давления/объёма
Результат или проверка: Работа за оборот
Мощность машины
Исходные величины: Работы полостей и частота вращения
Результат или проверка: Индикаторная мощность
Механическая граница
Исходные величины: Индикаторная мощность и механический КПД
Результат или проверка: Эффективная мощность на валу
Наполнение
Исходные величины: Требуемая мощность, условия впуска/выпуска, расширение
Результат или проверка: Согласование расхода и использования пара
Размеры цилиндра
Исходные величины: Мощность, среднее индикаторное давление, ход, скорость и обороты
Результат или проверка: Совместимый набор геометрии и кинематики
Многократное расширение
Исходные величины: Диаграммы ступеней, промежуточные давления и фазы
Результат или проверка: Согласованная работа цилиндров
Равномерность вращения
Исходные величины: Изменение момента и инерция движущихся масс
Результат или проверка: Требуемое сглаживание маховиком
6. Многократное расширение и механические проверки
В многократной машине объёмы пара в цилиндрах изменяются во времени или с положением кривошипа; меняются также давление и сообщения ресивера. Для каждой ступени поэтому нужно рассматривать её действительный процесс, а не просто делить общую индикаторную площадь на части. Мощности складываются по цилиндрам с их собственными условиями, а не умножением одной диаграммы на число ступеней.
Полярная золотниковая диаграмма связывает угол кривошипа со смещением золотника и помогает согласовать распределительный механизм с циклом. Геометрическая диаграмма привода отличается от действительной pV-диаграммы работы пара и сама по себе не определяет оптимальное наполнение.
Момент на валу меняется в течение оборота вследствие изменения направления силы, давления пара и инерции движущихся масс. Задача выбора маховика — получить достаточную равномерность при минимально необходимом весе: его увеличение одновременно увеличивает сопротивления и износ. Маховик сглаживает движение, но не добавляет индикаторной мощности.
7. Проверки и область применимости
- Масштаб давления и объёма относится к той полости, диаграмма которой обрабатывается. Давление котла не заменяет среднее индикаторное давление.
- Для двойного действия суммируются обе полости; два рабочих хода не учитываются повторно дополнительным множителем.
- При различающихся диаграммах и площадях сначала вычисляются отдельные работы. Геометрия штока учитывается на той стороне, где он действительно проходит.
- Работа за оборот умножается на обороты в секунду. При кПа и м³ получается кДж, при кДж/с — кВт.
- Механический КПД применяется к индикаторной мощности один раз. Мощность на валу и электрический выход — разные результаты.
- Получение мощности по диаграмме не определяет автоматически расход пара, прочность деталей, размеры распределения или полный проект машины. Для этих задач нужны дополнительные исходные данные и соответствующие расчёты.
SI-формулы и два условных численных примера я использую как учебные пояснения, а не результаты испытаний из пособия 1952 года. Переход от работы цикла к мощности следует из размерностей и числа циклов в секунду.
Источники и материалы
В. К. Богомазов, А. Д. Беркута, П. П. Куликовский. «Паровые двигатели». Киев: Государственное издательство технической литературы УССР, 1952. §8, с.22–25: определения мощности, механический тормоз и переход к средней скорости поршня; §9, с.26–27: обратный расчёт размеров. §11, с.33–35: составляющие расхода и условия зависимости часового расхода от наполнения и сжатия; §12, с.36: давление в конце расширения; §23, с.55, рис.37: координаты круговой золотниковой диаграммы; с.75–78: тангенциальная сила, момент и выбор минимального веса маховика.