Случайный экран: почему однородность поля зависит от направления

ALVERJOB · Локальная редакция

Представим, что мы измеряем случайное звуковое поле в двух точках. Нас интересует, насколько связаны полученные значения. А теперь перенесём обе точки, сохранив расстояние и направление между ними: останется ли эта статистическая связь прежней? Именно такой вопрос о пространственной корреляции разбирается в задачах 7.2.1–7.2.2 «Акустики в задачах». За случайным экраном ответ зависит от того, куда мы переносим точки: вдоль плоскости экрана или дальше от него. При этом рисунок давления в отдельном случае вполне может быть неоднородным. [A1] [A2]

Что задано на экране

Сначала нужно разобраться, что здесь называют экраном. В задаче он безграничный и хаотически изменяет падающую на него плоскую монохроматическую волну, то есть волну одной частоты. Поле сразу за экраном задают корреляционной функцией или соответствующей спектральной плотностью. Причём статистическую однородность в плоскости экрана принимают с самого начала. Это условие выбранной модели: для другого случайного препятствия его ещё пришлось бы обосновывать. [A1]

Что означает это условие на языке двух точек? Их корреляция зависит от взаимного смещения в плоскости. Если передвинуть пару целиком, не меняя этого смещения, корреляционная функция сохранится. Давление в каждой точке при этом вовсе не обязано быть одним и тем же: в отдельном осуществлении поля остаются пространственные флуктуации. Поэтому одного показания в одной точке недостаточно. Мы обсуждаем статистическую связь значений, точнее, заданную авторами характеристику поля второго порядка. [A1]

Какие составляющие уходят от экрана

Дальше поле у экрана раскладывают на пространственные гармоники. Так сложный пространственный рисунок представляют через более простые составляющие и смотрят, что будет с каждой при удалении от экрана. Временная частота у них остаётся общей. Различаются поперечные пространственные масштабы и связанные с ними продольные составляющие волнового вектора. Именно от последних зависит, сможет ли данная составляющая распространяться от экрана. [A2]

Сравнение поперечного волнового числа с волновым числом звука разделяет составляющие на распространяющиеся и затухающие. Пока мы близко к экрану, затухающие ещё вносят вклад, и отбрасывать их рано. Поэтому для корреляции может быть важно, на каком удалении находится каждая из двух точек по отдельности. Поперёк поля пару уже можно переносить с сохранением статистики, а вдоль распространения такое свойство пока не получается. В этом и состоит различие двух направлений. [A2]

Если отойти на расстояние, существенно большее длины волны, нераспространяющиеся составляющие в принятом авторами приближении затухнут. Тогда в оставшемся выражении будет важно уже продольное расстояние между точками. Их отдельные удаления от экрана перестанут входить в него независимо. Так в дальней области этой модели возникает статистическая однородность и вдоль распространения. Речь именно об этом дальнем режиме: давление любого случайного звука от удаления само по себе одинаковым не становится. [A2]

Малый и большой исходный масштаб

Теперь можно спросить, насколько крупным будет пространственный рисунок связей вдали от экрана. В следующей задаче для этого выбирают гауссову корреляционную функцию на самом экране. Если исходные флуктуации мелкие, их пространственный спектр широк по сравнению с областью распространяющихся гармоник. В дальней области поперечный радиус корреляции получается уже порядка длины волны, то есть существенно больше первоначального малого радиуса. Продольный масштаб также имеет порядок длины волны. Получается, что мельчайшая структура у экрана при распространении меняется. Численный коэффициент и специальные функции здесь не приводятся. [A3]

При крупном исходном масштабе картина другая: спектр сосредоточен в узкой области малых поперечных волновых чисел. В используемом приближении поперечная корреляционная функция сохраняет и свою форму, и радиус. Продольный радиус при этом получается значительно больше поперечного. То есть вдоль распространения связь сохраняется на гораздо большем масштабе, чем поперёк. Статистическая однородность этому не мешает: она описывает перенос пары точек, а одинаковые свойства во всех направлениях, изотропность, составляют отдельный вопрос. [A4]

Таким образом, начинать нужно со статистики, заданной на экране. Затем посмотреть, какие пространственные составляющие распространяются, а какие затухают, и уже после этого обсуждать дальнее поле и радиусы корреляции. Вся эта последовательность относится к указанным двум задачам. Чтобы перейти к конечному экрану, широкополосному возбуждению или конкретной среде, понадобятся дополнительные предпосылки. [A1] [A2] [A3] [A4]

Источник: А. Н. Бархатов и др. Акустика в задачах, под ред. С. Н. Гурбатова и О. В. Руденко. Москва: Наука. Физматлит, 1996. Печатные с. 239–241; PDF 239–241. Сверено со сканами.